الکتریسیته ساکن سال تحصیلى 95-96
مقدمه: همانطور که می دانیم بارهای الکتریکی بر هم نیرو وارد می کنند. بارهای الکتریکی هم نام یکدیگر را می رانند و بارهای الکتریکی نا هم نام یکدیگر را می ربایند. بار نقطه ای: بار نقطه ای به باری گفته می شود که بتوانیم از ابعاد آن در مقایسه با فاصله ها چشم پوشی کنیم. q( 1 با بزرگی بارها نسبت مستقیم و با مجذور فاصله ی دو بار, q این قانون بیان می کند که نیروی الکتریکی بین دو بار الکتریکی نقطه ای ( F {, q 9 r F q r )r( نسبت عکس دارد. برای تبدیل تناسب به تساوی باید یک عدد ثابت در یک طرف تناسب ضرب کنیم. ضریب ثابت قانون کولن را با حرف k نشان می دهیم و از رابطه ی 9 محاسبه می شود. k 9 4πε o عبارت است از ثابت جهانی گذردهی الکتریکی خأل و مقدار آن عبارت است از: در نتیجه: پس می توانیم بنویسیم: یا: ε 8/88 91-9 c k 1 91 1 Nm F 9 4πε q r )9( c Nm )3( نکته 1 : با توجه به اینکه نیرو یک کمیت برداری است پس در فرمول های و 3 نیازی به گذاشتن عالمت بارهای الکتریکی نیست بلکه عالمت بارها در تعیین جهت نیرو و محاسبه ی برایند نیروها تأثیر گذار خواهد بود. بارهای هم عالمت یکدیگر را می رانند و بار های غیر هم عالمت یکدیگر را می ربایند. )شکل مقابل( نکته : نیرویی که دو بار الکتریکی به یکدیگر وارد می کنند طبق قانون سوم نیوتن با هم برابر است. اصل برهم نهی نیروهای کولنی: این اصل بیان می کند که برایند نیروهای وارد بر یک بار نقطه ای عبارت است از برایند نیروهایی که تک تک بارها بدون در نظر گرفتن بارهای دیگر به آن بار وارد می کنند. مراحل حل مسئله های قانون کولن: 9- ابتدا مقدار بار الکتریکی را به کولن و فاصله را به متر تبدیل می کنیم. - در صورتیکه برایند نیروهای وارد بر یک بار را بخواهیم محاسبه کنیم ابتدا نیروی وارد بر بار مورد نظر را از طرف هر یک از بارها به طور جداگانه حساب می کنیم و در نهایت برایند آنها را بدست می آوریم. مثال 1 دو بار نقطه ای 8- و 91 میکروکولنی در فاصله ی 3 سانتی متر از هم قرار دارند. بزرگی و نوع نیروی وارد بر آن دو را بدست آورید. F k q r )( قانون کولن 1
-8μc,q 91μc, r 3cm, F? F k q r F 1 91 A B q 1 q A B q 1 q F 9 k r F 9 1 91 1 8 91-6 91 91-6 (3 91 - ) F 1 8 91-1 91-4 F 811N نوع نیرو جاذبه است. مثال در شکل روبرو بزرگی و جهت نیروی وارد بر بار نقطه ای از طرف دو بار دیگر را تعیین کنید. q 8μc, AB B 8cm ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام نیروهای وارد بر بار مالحظه می کنید نیروی وارد از طرف بار را با را در آن نشان می دهیم. همانطور که در شکل F q و نیروی وارد از طرف بار را با نشان داده ایم 1 8 91-6 8 91-6 (8 91 - ) F 9 F F t 11+11981N A F 1 F q 1 q A F 9 F B F B F 1 k r F 9 1 91 1 91-6 91-6 (3 91 - ) kq 1 91 1 91-6 1 91-6 89 91-3 r (1 91 - ) F t F 9 F 1N q 1 q جاذبه است. در نتیجه دو بردار هم راستا و هم جهتند. ابتدا بزرگی آن دو را حساب می F 9 1 8 91-3 8 91-4 11N F 9 F F 9 دافعه و که کنیم و سپس بزرگی های آن دو را با هم جمع می کنیم. مثال 3 در شکل زیر بزرگی و جهت نیروی وارد بر بار نقطه ای از طرف دو بار دیگر را تعیین کنید. AB 3cm, A 9cm μc, q 1μc را در آن نشان می دهیم. همانطور که در شکل ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام نیروهای وارد بر بار F نشان داده ایم q را با F 9 و نیروی وارد از طرف بار را با مالحظه می کنید نیروی وارد از طرف بار که هر دو نیرو دافعه هستند. بنابراین جهت آنها به سمت مقابل بار است. حال بزرگی های این دو نیرو را F 9 1 4 91-3 89 91-4 1N 1 91-4 41N حساب می کنیم. با توجه به اینکه دو نیرو هم راستا و خالف جهت هم هستند در نتیجه بزرگی های آنها را از هم کم می کنیم. F 9 است. یعنی به سمت راست. در حالیکه جهت بردار برایند هم جهت با بردار بزرگ تر یعنی
نمایش یک بردار برحسب بردارهاى یکه و مو لفه هاى یک بردار روى محور مختصات در درس رىاضی خود خواندهاىد که با انتخاب بردارهای ىکه i و j به ترتىب روی محورهای x و y )شکل الف( میتوان ىک بردار را بر حسب بردارهای ىک ه نماىش داد. بردار ىک ه در راستای هر محور برداری است به طول واحد و در جهت همان محور. واحد 1 اگر اندازه جبری مؤلفههای بردار A روی محور x و y به ترتىب برابر A x و A y باشد اىن بردار بهصورت زىر نشان داده میشود: i j A A i + A x y j بنابراىن برای تعىىن مؤلفه های ىک بردار روی دو محور x و y به روش زىر عمل می کنىم. مطابق شکل ب از انتهای بردار A خط هاىی موازی هر ىک از دو محور y و x رسم می کنىم تا محورها را قطع کنند. به اىن ترتىب بردارهای Ax و که همان مؤلفه های بردار A در راستای دو محور است. Ay به دست می آىند با توجه به اىنکه زاوىه A با محور x برابر α است اندازه جبری مؤلفه های A روی دو محور با توجه به رابطه های زىر محاسبه می شود: بنابراىن و cosα A x A A x Acosα و A y Asinα sin α A y A بزرگی بردار A را می توان با استفاده از مثلث قائم الزاوىه شکل ب به دست آورد: و در نتىجه: x A y A A + x y A A + A جهت بردار A را با تعىىن زاوىه اىن بردار با سوی مثبت محور x به دست می آورىم. اگر در شکل ب تانژانت زاوىه α را حساب کنىم نتىجه می شود: j 0 y i A y j y i x α A x A A y x برآیند و تفاضل دو بردار بر اساس زاویه و بزرگی دو بردار اندازه ي برآيند و تفاضل دو بردار: هنگامي كه اندازه ي دو بردار و زاويه ي بين دو بردار داده مي شود از رابطه ي زير استفاده مي كنيم. r r r r R a + b R a + b +abcosθ (برآيند) r r r r a b a + b abcosθ (تفاضل) r θ حالت خاص اگر دو بردار هم اندازه باشند داريم: در حالت فوق بردار برآيند بر بردار تفاضل عمود است. مانند قطرهاي لوزي )الف( ( ب( r r R a cos a b r θ a sin r r حالت خاص اگر دو بردار عمود باشند داريم: در اين حالت بردارهاي برآيند و تفاضل R a + b هم اندازه اند مانند قطرهاي مستطيل همواره بردار برآيند با بردار بزرگ تر زاويه ي كوچك تر مي سازد. r r a b α β اگر در حالتي كه بردار برآيند بر يكي از بردارها عمود است. زاويه ي بين دو بردار منفرجه خواهد بود و داريم: اندازه ي بردار برآيند از مجموع اندازه ي دو بردار كوچك تر و از تفاضل اندازه ي دو بردار بزرگ تر است. a + R b تذكر: اگر زاويه ي بين دو بردار را از صفر تا 180 افزايش دهيم بزرگي برآيند آن ها كاهش يافته و بزرگي تفاضل آن ها افزايش مي يابد. r r r r r a b R a + b 3 tan α Ax توجه کنىد اىن رابطه دو پاسخ برای α بهدست میدهد. پاسخ درست را باىد با توجه به عالمت اندازه جبری مؤلفههای A در راستای دو محور تعىىن کرد.
4 cm q 1 q A F q B 4 cm F t 3 cm q B 60 q A F B 3 cm q 1 F F 3 q 1 q 1 m 60 1 m 60 60 3cm F t q 4cm q q A مثال 4 در شکل داده شده بزرگی برایند نیروهای الکتریکی وارد بر بار رسم شکل تعیین کنید. را حساب کنید و جهت نیروی برایند را با q A μc, q B 8μc,q 6μc q q F B kq Aq B F kq Aq q A ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام نیروهای وارد بر بار را در آن نشان می دهیم. 1 91 1-6 -6 91 8 91 r (4 91 - ) 1 91 1-6 -6 91 6 91 r (3 91 - ) F t 11 + 91 981N q 91μc 11N 91N مثال 5 در شکل داده شده بزرگی برایند نیروهای وارد بر بار را بدست آورید. را در آن نشان می دهیم. ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام نیروهای وارد بر بار k 1 91 1 91 91-6 91 91-6 F F 3 1/1N r 9 F t F cos α 1/1 cos μc, q 8μc, 6μc 61 1/1 cos319/88n مثال 6 را بدست آورید. در شکل داده شده بزرگی برایند نیروهای وارد بر بار 4
F t F 3 F 3 q 1 F r 3cm q 4cm k 1 91 1-6 -6 91 6 91 r (3 91 - ) ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام نیروهای وارد بر بار نیروی را در آن نشان می دهیم. برای محاسبه ی باید اندازه ی r را داشته باشیم. در مثلث قائم الزاویه برای بدست آوردن وتر از رابطه ی r 4 + 3 8 r 8cm cosα F 91N F فیثاغورس استفاده می کنیم. همچنین برای محاسبه ی کسینوس زاویه ی بین دو نیرو از تعریف کسینوس استفاده می کنیم: ضلع مجاور به زاویه 8 وتر 3 k q 1 91 1-6 -6 91 8 91 r (8 91 - ) 85/6N 3 F t F + F3 + F F 3 cosα F t 85/6 + 91 + 85 / 6 91 619/9 F 8 t 969/N q 1 1m q q 4 مثال 7 را بر حسب مؤلفه های بردار های یکه نوشته و بزرگی آن در شکل داده شده برایند نیروهای وارد بر بار q q 4 μc, 9μc را بدست آورید. را در آن نشان می دهیم. با توجه به اینکه بزرگی نیروها با هم برابر نیست ناچاریم از روش ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام نیروهای وارد بر بار F 4 F 3 F q 1 1m 1m q 1m q 4 تجزیه برای حل مسئله استفاده کنیم. ابتدا بزرگی تک تک نیروها را حساب می کنیم. سپس آنها را F F 3 k q r k r 1 91 1 91-6 91-6 3/6 91 - N (9) 1 91 1 91-6 9 91-6 9/8 91 - N (9) تجزیه می کنیم و برایند را بدست می آوریم. که برابر است با قطر مربع حساب کنیم. q 4 را از بار F 4 ابتدا باید فاصله ی بار برای محاسبه ی m 9 قطر مربع ضلع مربع قطرمربع 5
F 4 F { k q 4 1 91 1-6 -6 91 91 r ( ) 9/8 91 - N F x F cosα 3/6 91 - cos981-3/ 6 91 - N F y F sinα 3/6 91 - sin981 1 } F 3.6 10 i F 3x F 3 cosα 9/8 91 - cos11 1N F 3 F 3 1.8 10 j F { 3y F 3 sinα 9/8 91 - sin11 9/8 91 - N } F 4x F 4 cosα 9/8 91 - cos938-9/ 5 91 - N F 4 F 4 1.7 10 (i j) F { 4y F 4 sinα 9/8 91 - sin938 9/5 91 - N } F tx F x + F 3x + F 4x -3/6 91-9/5 91 - -4/85 91 F ty F y + F 3y + F 4y 9/8 91 - + 9/5 91-3/15 91 - N F t 4.87 10 i + 3.07 10 j F t (-4/85 91 - ) + (3/15 91 - ) 8/56 91 - N Ftx 3/15 91 - ϕ Arctan F ty Arctan Arctan-6/39 91-9 -4/85 91 - تانژانت دو زاویه مقدار 9-91 6/39- را می توان داشته باشد یکی در ربع دوم و دیگری در ربع چهارم. ولی با توجه به شکل ما ربع دوم را انتخاب - N می کنیم. مثال 945/55 o 8 دو کره فلزی مشابه دارای بارهای الکتریکی q 1 5μc, q 15μc از فاصله ی r نیروی F به یکدیگر وارد می کنند. اگر این دو کره را در یک لحظه با یکدیگر تماس دهیم به طوریکه فقط بین دو کره مبادله بار صورت گردد و مجددا به همان فاصله قبلی برگردانیم نیروی دافعه ی r بین دو کره چگونه تغییر می کند )سراسری تجربی 19( 9( 8 درصد افزایش می یابد ( 8 درصد کاهش می یابد. 3( 33 درصد افزایش می یابد 4( 33 درصد کاهش می یابد. وقتی دو کره ی مشابه را با هم تماس می دهیم بار آنها میانگین مجموع بارهای قبلی آنها خواهد شد. F 9 k 15 5 10 1 F r { 911 4 F k 10 10 10 F 1 F 9 58 3 9/33F 9 F F 9 + 1/33F 9 6
با مثال 9 دوبار الکتریکی هم نام q 1 8μc و q در فاصله ی r نیروی F بر هم وارد می کنند. اگر 8 درصد از بار q 1 را برداشته و به q اضافه کنیم بدون تغییر فاصله ی بارها نیروی متقابل بین آنها 81 درصد افزایش می یابد. مقدار اولیه ی q چند میکرو کولن است )سراسری 81- ریاضی( 4 )4 3)3 9) )9 F q اگر رابطه ی قانون کولن را به صورت مقایسه ای بنویسیم به صورت: 1 q ( r خواهد شد که در این رابطه کمیت هایی که با نماد F q 1 q r ) پریم )مانند r ) مشخص شده اند حالت ثانویه هستند. F q q 1 ( r F 1 q q 1 r ) 1.5f q + 6 1 q + q f q 8 q μc میدان الکتریکی میدان الکتریکی را می توان به دو شکل تعریف کرد: 1- تعریف کیفی: خاصیتی است در ناحیه ای که اگر بار الکتریکی وارد آن ناحیه شود به بار الکتریکی نیرو وارد می شود. - تعریف کم ی: به بزرگی نیروی وارد بر واحد بار الکتریکی بزرگی میدان الکتریکی گفته می شود. V N میدان الکتریکی یک کمیت برداری است و آن را با حرف E نشان می دهیم و یکای آن نیوتن بر کولن) ) یا ولت بر متر ( ) است. m c میدان الکتریکی از رابطه ی 93 محاسبه می شود. E F )8( q نکته ی 3: اگر بار الکتریکی مثبت باشد نیروی وارد بر آن از طرف میدان الکتریکی هم جهت با میدان خواهد بود. و اگر بار منفی باشد نیرو و میدان خالف جهت خواهند بود. نکته ی 4: هنگام استفاده از رابطه ی 93 اگر بزرگی میدان مد نظر باشد از گذاشتن عالمت بار چشم پوشی می کنیم. رسم خط های میدان الکتریکی: این خط ها را برای اولین بار مایکل فارادی برای درک بهتر میدان الکتریکی معرفی کرد. برای رسم خط ها میدان الکتریکی این طور فرض می کنیم که یک بار آزمون )بار مثبت کوچک( را به یک بار الکتریکی یا مجموعه ای از بارهای الکتریکی نزدیک می کنیم. مسیر حرکت این بار الکتریکی خط ها میدان الکتریکی را نشان می دهد. به عنوان مثال اگر بار آزمون را در اطراف یک بار مثبت قرار دهیم به آن نیروی رانشی وارد می شود و جهت حرکت آن به صورت خط های شکل مقابل خواهد شد. با توجه به توضیحات ذکر شده می توانیم خط های میدان الکتریکی را در اطراف بارهای دیگر مطابق شکل زیر رسم کنیم. ميدان الكتريكي اطراف دو بار هم ميدان الكتريكي اطراف دو بار ميدان الكتريكي اطراف يك بار ميدان الكتريكي اطراف دوبار هم نام ميدان الكتريكي اطراف دو بار ناهم نام با بزرگي يكسان بزرگي يكسان( دو قطبي الكتريكي) نام با بزرگي نابرابر ناهم نام با بزرگي نابرابر نقطه اي و يك صفحه ي رساناي باردار با بارهاي ناهم نام 7
نکته ی 5: خط های میدان الکتریکی همیشه از بار مثبت به طرف بار منفی هستند. ویژگی های خط های میدان الکتریکی: نشان می دهد. 9- راستای میدان در هر نقطه مماس بر خط میدان در آن نقطه است و جهت این خط ها در هر نقطه جهت میدان الکتریکی در آن نقطه را - نیروی وارد بر بار آزمون در هر نقطه هم جهت با خط میدان در آن نقطه است. 3- این خط ها یکدیگر را قطع نمی کنند. 4- فشردگی خط ها نشانگر بزرگی میدان است. )یعنی هرچه میدان قوی تر باشد خط ها فشرده تر و بیشتر خواهد شد( خط های میدان الکتریکی یکنواخت: با توجه به اینکه میدان الکتریکی یک کمیت برداری است پس دارای بزرگی و جهت است. وقتی میدان یکنواخت است بدین معنا است که بزرگی و جهت آن در تمام نقاط آن ناحیه ثابت است. پس طبق ویژگی اول خط ها میدان باید این خطوط هم راستا و هم جهت باشند و طبق ویژگی چهارم باید فاصله ی آنها از هم برابر باشد. نکته ی 6: میدان الکتریکی یکنواخت را می توان بین دو صفحه ی رسانای موازی باردار ایجاد کرد. )دو صفحه ی خازن( مثال 11 ذره ی بارداری به جرم گرم با بار الکتریکی 41- میکروکولن در یک میدان الکتریکی یکنواخت معلق و در حالت سکون است. بزرگی و جهت میدان الکتریکی را همراه با رسم شکل تعیین کنید. با توجه به شکل مقابل جهت نیروی وارد بر بار باید خالف جهت نیروی وزن باشد در نتیجه باید رو باال باشد و بدلیل منفی بودن بار نتیجه می گیریم که باال مثبت و پایین منفی است و با توجه به اینکه جهت میدان همیشه از مثبت به منفی است پس میدان در این مثال رو به پایین است. اگر بار الکتریکی بخواهد به صورت معلق در میدان الکتریکی قرار گیرد باید بزرگی نیروهای وارد از طرف میدان الکتریکی و گرانشی)وزن( با هم برابر باشند. بزرگی میدان الکتریکی حاصل از بار نقطه ای: + + F w - - F w Eq mg E 41 91-6 91-3 91 E811 N c برای محاسبه ی بزرگی میدان الکتریکی حاصل از یک بار نقطه ای بدین شکل عمل می کنیم که فرض می کنیم یک بار آزمون q در فاصله ی r kqq F بدست می آید. از طرف دیگر گفته شد بزرگی میدان از یک بار نقطه ای q قرار گرفته است. پس نیروی وارد بر بار آزمون از رابطه ی r الکتریکی در یک نقطه عبارت است از نیروی وارد بر واحد بار الکتریکی در آن نقطه. پس می توانیم بنویسیم: E F q 8
E kqqo r از ترکیب این دو رابطه نتیجه می شود: E kq )6( نکته ی 7: بدلیل برداری بودن میدان از گذاشتن عالمت q در رابطه ی 94 خودداری کنید. q o r مثال 11 در شکل مقابل بزرگی و جهت میدان الکتریکی برایند را در نقطه ی M تعیین کنید. ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام میدان ها را بر روی آن رسم می کنیم. q A 8μc,q B 1μc, AMBM 31cm با توجه به شکل در می یابیم میدان ها هم راستا و غیر همسو هستند. در نتیجه آنها را تک تک محاسبه کرده و در نهایت از هم کم می کنیم. E A kq A 1 91 1-6 8 91 r (31 91 - ) E t E A E B 98 91 8 N 8 91 8 N c c E B kq B و 1 91 1-6 1 91 r (31 91 - ) 1 91 8 N c مثال 1 q در فاصله ی 61 سانتی متر از یکدیگر قرار دارند. در نقطه ی و مانند شکل دو بار الکتریکی M واقع بر روی عمود منصف خط واصل و در فاصله ی h 31cm بزرگی میدان الکتریکی را محاسبه کنید و با ترسیم جهت آن را نشان دهید. ابتدا شکلی رسم می کنیم و تمام میدان ها را بر روی آن رسم می کنیم. A M B - + A M B - E A E B + h M q 1 q q 8μc, حال به محاسبه ی تک تک میدان ها می پردازیم. برای محاسبه ی آنها باید فاصله ی هر بار تا نقطه ی M را بدانیم. با توجه به اینکه فاصله ی دو بار برابر 61 سانتی متر است نتیجه می گیریم فاصله ی بارها تا پای عمود منصف برابر 31 سانتی متر است. می توانیم از رابطه ی فیثاغورس استفاده کنیم. E t E 1 E 9 E kq E h M q 1 q 1 91 1-6 8 91 r (31 91 - ) /8 918 N r 31 + 31 31 cm c برای محاسبه ی براین باید زاویه ی بین دو میدان را داشته باشیم. با توجه به اینکه مثلث قائم الزاویه ی متساوی الساقین است هر زاویه ی غیر قائم آن برابر 48 درجه است. پس زاویه ی بین دو میدان که یک زاویه ی خارجی است برابر مجموع دو زاویه ی داخلی غیر مجاورش است یعنی 11 درجه. E t E cos α 11 8 N /8 918 cos /8 91 c 9
نکته : 8 اگر بخواهیم بزرگی برایند میدان الکتریکی را بر روی عمود منصف خط واصل دو بار هم اندازه و هم عالمت در فاصله ی h از پای عمود منصف بدست آوریم از رابطه ی زیر استفاده می کنیم: در صورتیکه دو بار دارای بزرگی های برابر ولی نا هم نام باشند: E t kq h E t (a +h ) 3 kq a (a +h ) 3 مثال 13 دو بار الکتریکی نقطه ای و 8 میکروکولنی در فاصله ی 31 سانتی متری از هم قرار دارند. بار سوم را در چه فاصله ای از بار کوچک تر قرار دهیم تا به آن نیرویی وارد نشود )8( )5( با توجه به شکل مقابل اگر بار سوم بخواهد در حال تعادل باشد باید برایند نیروهای وارد بر آن صفر باشد. یعنی دو نیرو باهم خالف جهت باشند. پس در اینگونه مسائل اگر دو بار هم نام باشند نقطه ی مورد نظر بین دوبار و نزدیک تر به بار کوچک تر باید باشد و اگر دو بار نا هم نام باشند نقطه ی مورد نظر باید خارج فاصله ی دو بار و نزدیک تر به بار کوچک تر باشد. F 9 F E 9 E E 9 E k kq r r 9 q r r 9 در معادله ی فوق دو مجهول داریم که یکی باید حذف شود. می دانیم فاصله ی دو بار از هم 31 سانتی متر است در نتیجه: r 9 + r 31 r 31-r 9 8 9 4 r 9 (31-r 9 ) r 9 (31-r 9 ) 9 r 9 31-r 9 r 9 31-r 9 r 9 91cm نکته : 9 اگر در مسئله ای دو بار الکتریکی ثابت داشته باشیم و صحبت از نقطه ای شده باشد که در آن نقطه برایند میدان الکتریکی این دو بار صفر باشد یا به یک بار الکتریکی سوم در آن نقطه نیرو وارد نشود در صورتیکه دو بار الکتریکی اولیه هم عالمت باشند و q: 1 < q )از آنجا که نقطه ی مورد نظر در فاصله ی بین دو بار قرار می گیرد( A B F F 1 q 1 q kq 1 E 1 E kq r1 r r q r 1 q 1 r r 1 1 q r r 1 q 1 1 q q1 +1 )1( در صورتیکه دو بار اولیه نا هم نام باشند: )از آنجا که نقطه ی مورد نظر خارج از فاصله ی دو بار قرار می گیرد( r 1 q )91( 1 q1 10
مثال 14 دو بار نقطه ای و مثبت q و 4q به فاصله ی از یکدیگر قرار دارند. اگر در نقطه ی p به فاصله ی x از بار q شدت میدان الکتریکی حاصل از دو r 1 q q1 +1 x 4+1 3 بار صفر باشد x برابر کدام گزینه خواهد بود )سراسری تجربی 65( 3 4 4 3 3 )9 ) )3 )4 مثال 15 مانند شکل روبرو یک آونگ الکتریکی باردار که جرم گلوله ی آن m است در میدان الکتریکی افقی و یکنواختی به بزرگی E قرار گرفته است. آونگ به اندازه ی θ درجه منحرف شده و در حالت تعادل است. نیروهای وارد بر گلوله را رسم کنید. نشان دهید بار الکتریکی گلوله ی آونگ از رابطه ی F x 1 F T x Eq T sin θ { { F y 1 w T y mg T cos θ Eq mg tan θ q tan θ mg E F Eq F 91 6 (4i + 3j) 8 91 6 i + 6 91 6 j F F x + F y 10 1 (64 + 36) 10 10 10 5 N q mg tan θ بدست می آید.)خرداد 88 ریاضی( E شرط تعادل این است که برایند نیروهای وارد بر گلوله برابر صفر باشد. مثال 16 بار الکتریکی q μc میدان الکتریکی E 4i + 3j قرار می گیرد. a( بردار نیروی وارد بر آن را بر حسب بردارهای یکه بنویسید. b( بزرگی نیروی وارد بر آن چند نیوتن است مثال 17 دو قطر عمود بر هم AB و D از یک دایره ی افقی را در نظر گرفته و چهار بار الکتریکی نقطه ای مشابه در نقاط A, B,, D قرار می دهیم. اگر میدان الکتریکی هر یک از بارها در نقطه ی O )نشان داده شده در شکل( برابر 10 4 N c 5 باشد برایند میدان الکتریکی حاصل در نقطه ی O چند نیوتن بر کولن است E A + E B E + E D E cos α 5 104 0.8 8 10 4 N c E t 8 10 4 1.6 10 5 N c 11
توزیع بار الکتریکی در اجسام: همانطور که پیشتر بیان شد در اجسام نارسانا بار الکتریکی نمی تواند جابجا شود. در نتیجه بار الکتریکی در محلی که ایجاد شده است باقی می ماند. ولی در اجسام رسانا باری که به جسم داده می شود حرکت می کند تا جائیکه تمام آن به سطح خارجی جسم رسانا منتقل شود. در داخل جسم رسانا هیچ باری باقی نمی ماند. چگالی سطحی بار الکتریکی: است. عبارت است از بار الکتریکی موجود در واحد سطح اجسام. آن را با حرف یونانی سیگما σ نشان می دهیم و یکای آن کولن بر متر مربع در رابطه ی 99 q بار کل جسم با یکای کولن )c( و A مساحت آن با یکای ( m( است. نکته : 11 اگر بخواهیم فرمول فوق را به صورت مقایسه ای بنویسیم خواهیم داشت: است. c m σ q A σ A σ B q A ) r A q B ( r B نکته ی : 11 در اجسام رسانای با شکل متقارن مانند کره چگالی سطحی در تمام نقاط برابر است ولی اگر سطح آن نا متقارن باشد مانند مکعب چگالی سطحی بار در مکان های نوک تیز و لبه ها بیشتر است. همانطور که در شکل زیر مشخص است چگالی سطحی بار در جاهای نوک تیز بیشتر مثال 18 به یک کره ی رسانا به شعاع 9 سانتی متر بار الکتریکی 986 میکروکولن داده شده است. چگالی سطحی بار آن را حساب کنید. )99 ( )9( q 986 91-6, r 9cm, σ? σ q σ q σ 986 91 A 4πr ) چقدر است )دی ماه σ A σ B -6 4 3/94 (9 91 - ) σ 986 91-6 m 9/86 91-4 σ 911 91-9 c مثال 19 دو کره ی رسانای A و B بارهای مساوی دارند و رابطه ی شعاع آنها R A R B است. نسبت چگالی سطحی بار آنها ( 88 ریاضی( σ A σ B q A q B ( r B r A ) σ A σ B 9 9 4 9 4 1
مثال 1 دو کره ی رسانای A, B به شعاع های r A و r B r A و چگالی سطحی بار σ A و σ B σ A دارای بار الکتریکی مثبت اند. چند درصد از بار کره ی بزرگ تر به کره ی کوچک تر منتقل شود تا نسبت بار کره ها برابر نسبت شعاع آنها شود رسانای منزوی شوند. σ B qb ( r A ) qb 1 qb 8 q σ A q A r B q A 4 q B 8q A A q B nq B (q A + nq B ) q B 3nq B 1 q 4 B 3n 3 4 n 0.5 باردار: همانطور که پیشتر بیان شد در اجسام رسانا تمام بار الکتریکی به سطح خارجی جسم منتقل می شود. میدان الکتریکی جسم همیشه به سطح آن عمود می شود. زیرا در غیر اینصورت میدان الکتریکی مؤلفه ای مماس بر سطح جسم خواهد داشت و این مؤلفه از میدان باعث حرکت بارهای الکتریکی در سطح جسم خواهند شد. از آنجاییکه چنین جریانی در سطح جسم رسانای باردار وجود ندارد نتیجه می گیریم خط های میدان الکتریکی بر سطح جسم رسانا عمود می رسانای منزوی در میدان الکتریکی: هرگاه یک جسم رسانای خنثی در میدان الکتریکی قرار گیرد خط های میدان الکتریکی بر سطح آن عمود می شود. زیرا همانطور که گفته شد اگر میدان بر سطح آن عمود نباشد باعث ایجاد جریان در سطح آن می شود ولی چنین جریانی وجود ندارد. از طرف دیگر میدان الکتریکی در داخل رسانای منزوی صفر است. زیرا همانطور که در شکل مشاهده می کنید بارهای القایی در سطح جسم رسانا باعث ایجاد یک میدان الکتریکی در داخل جسم رسانا می شود که این میدان خالف جهت میدان خارجی است و اثر آن را در داخل جسم رسانا خنثی می کند. تغییرات انرژي پتانسیل الکتریکی انرژی پتانسیل الکتریکی یک بار الکتریکی در یک نقطه عبارت است از کاری که یک نیروی خارجی باید انجام دهد تا آن بار الکتریکی را از فاصله ی بسیار دور تا آن نقطه جابجا کند. انرژی پتانسیل الکتریکی یک کمیت نرده ای است و آن را با حرف u نشان می دهیم و واحد آن ژول است. تغییرات انرژی پتانسیل الکتریکی یک بار بین دو نقطه عبارت است از کاری که توسط یک عامل خارجی انجام می شود تا آن بار الکتریکی را با سرعت ثابت بین آن دو نقطه جابجا کنیم. تغییرات انرژی پتانسیل الکتریکی بین دو نقطه مستقل از مسیر حرکت می باشد. W نیز نماد کار است. u u u 1 W F ext cos α )93( در رابطه ی فوق F ext عبارت است از نیروی خارجی وارد بر بار الکتریکی. از آنجا که بار با سرعت ثابت جابجا می شود بزرگی نیروی خارجی با نیروی وارد از طرف میدان الکتریکی برابر است ولی جهت آنها عکس یکدیگر می باشد. α در رابطه ی فوق زاویه ی بین نیروی خارجی و جهت 13
جابجایی است. کار نیروی الکتریکی یا به عبارت دیگر کار میدان الکتریکی ) W) از نظر بزرگی با کار نیروی خارجی برابر است ولی عالمت آنها قرینه است. W W )94( نکته : 1 از انرژی پتانسیل بار مثبت اگر در جهت خط های میدان جابجا شود کاسته می شود ) 0 < W,U ) و به انرژی آن اگر خالف جهت خط های میدان جابجا شود افزوده می شود( 0 > W,U ). از انرژی پتانسیل الکتریکی بار منفی اگر خالف جهت میدان جابجا شود کاسته می شود( 0 < W,U ) و به انرژی پتانسیل الکتریکی آن اگر در جهت میدان جابجا شود افزوده می شود( 0 > W,U ). مثال 1 E 8 91 8 N از نقطه ی A تا B جابجا می کنیم. اگر مطابق شکل روبرو بار q 91μc را با سرعت ثابت در میدان الکتریکی یکنواخت c AB 4m و 31 α باشد مطلوب است: o الف( نیروی الکتریکی وارد بر بار q ب( کاری که برای این جابجایی باید انجام دهیم پ( تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی بار. q الف( ب( از آنجائیکه بار مثبت است و خطوط میدان نیز از قطب مثبت به منفی هستند یعنی سمت چپ مثبت و سمت راست منفی است در نتیجه نیروی وارد از طرف میدان بر بار الکتریکی به سمت راست است. برای اینکه بار شتاب نگیرد و با سرعت ثابت به حرکت خود ادامه دهد نیروی خارجی که به آن وارد می شود باید به سمت چپ باشد. پس زاویه ی بین نیرو و جابجایی با توجه به شکل زیر برابر است با 31 درجه. B α A F Eq 8 91 8 91 91-6 8N F ext Eq W F cos α 8 4 cos3196 3j E روش دوم: ابتدا از رابطه ی W F cos α استفاده می کنیم در حالیکه α زاویه ی کوچک تر بین جابجایی با خط های میدان است سپس با استفاده از نکته ی کار و تغییرات انرژی پتانسیل را تعیین عالمت می کنیم. W F cos α 8 4 3 از آنجاییکه بار مثبت خالف جهت خط های میدان جابجا شده است عالمت مثبت است. 3J 16 پ( u W 96 3j اختالف پتانسیل الکتریکی: انرژی پتانسیل الکتریکی یکای بار الکتریکی در هر نقطه را پتانسیل الکتریکی آن نقطه می نامیم. اختالف پتانسیل الکتریکی بین دو نقطه عبارت است از تغییرات انرژی پتانسیل الکتریکی واحد بار الکتریکی بین آن دو نقطه. اختالف پتانسیل الکتریکی بین دو نقطه مستقل از بار الکتریکی است. اختالف پتانسیل الکتریکی بین دو نقطه را با V نشان می دهیم و واحد آن ولت )v( است. اگر پتانسیل الکتریکی را در هر نقطه با V نشان دهیم خواهیم داشت: V V V 1 u )98( q اختالف پتانسیل الکتریکی عامل شارش بارهای الکتریکی بین دو نقطه است. نکته ی : 13 از آنجائیکه اختالف پتانسیل الکتریکی کمیتی نرده ای است باید عالمت q در رابطه ی 95 گذاشته شود. نکته ی 14: بدلیل اینکه در مولدها پتانسیل پایانه ی منفی کمتر از پتانسیل پایانه ی مثبت است در نتیجه عالمت V در حرکت از پایانه ی مثبت به منفی منفی است و در حرکت از پایانه ی منفی به مثبت مثبت است. در یک میدان الکتریکی اختالف پتانسیل بین دو نقطه را می توان از رابطه ی زیر بدست آورد: V V Ecosα)96( Eq cos α q 14
در یک میدان الکتریکی یکنواخت بین دو صفحه ی خازن بزرگی میدان الکتریکی بین دو صفحه ی خازن از رابطه ی 91 محاسبه می شود: نکته ی 15: ولت معادل ژول بر کولن ( ) است. J c نکته ی 16: اختالف پتانسیل الکتریکی بین دو نقطه مستقل از مسیر حرکت است. V E نکته ی 17: به مکان هندسی نقاطی که دارای پتانسیل یکسان هستند سطوح هم پتانسیل گفته می شود. هنگامیکه یک بار الکتریکی بین دو سطح هم پتانسیل حرکت می کند هیچگونه کاری توسط میدان الکتریکی روی آن انجام نمی شود. نکته ی : 18 پتانسیل الکتریکی در حرکت در جهت خط های میدان الکتریکی کاهش می یابد. مثال در یک میدان الکتریکی بار 8μc از نقطه ی A تا B جابجا می شود. اگر انرژی پتانسیل الکتریکی آن در نقاط A و B به ترتیب 91 8-8- j و 91 9 8- j باشد اختالف پتانسیل الکتریکی بین دو نقطه ی A و V) B V A ) B چند ولت است V u u u 9 q q 9 91-8 ( 8 91-8 j ) 1 91-8 8 91-6 مثال 41v 3-6 8 91 بار الکتریکی 8- mc از نقطه ی A به پتانسیل الکتریکی ولت به نقطه ی B منتقل می شود. اگر در این جابجایی کار نیروی میدان الکتریکی 8 میلی ژول باشد پتانسیل نقطه ی B چند ولت است ( سراسری تجربی 11( )95( w 8mJ w 5 mj w U V B V A U q 5 31 )4 91 )3 3 ) 9 )9 5 1v V B 1 V B 3v مثال 4 مطابق شکل مقابل یک پروتون با بار الکتریکی 10 19 c 1.6 و جرم 10 8 Kg 1.6 از مجاورت صفحه ی مثبت و از حال سکون به طرف صفحه ی منفی شتاب می گیرد. اگر بر پروتون تنها نیروی الکتریکی وارد شود سرعت آن در لحظه ی رسیدن به صفحه ی منفی چند متر بر ثانیه است V U 1000 q U 1.6 10 19 U 1.6 10 16 J U K 1.6 10 16 1 1.6 10 8 v v 10 1 10 6 m s مثال 5 در شکل مقابل یک آونگ الکتریکی در یک میدان الکتریکی یکنواخت حاصل از دو صفحه ی رسانای باردار موازی که در فاصله ی سانتی متر از یکدیگر قرار گرفته اند در حال تعادل قرار دارد. اگر جرم گلوله ی آونگ و بار الکتریکی آن به ترتیب برابر 9 گرم و 9 میکروکولن باشند اختالف پتانسیل بین دو صفحه ی موازی چند ولت است 15
mg پیشتر در مسئله ی مشابهی ثابت کردیم: q tan θ E 10 6 10 3 10 3 E 3 E 4 4 104 N c 3 V E V 10 4 10 150 v 4 نکته 19: اختالف پتانسیل الکتریکی بین نقاط سطح یک جسم رسانای باردار برابر صفر است. خازن چیست خازن وسیله ای است که مقداری بار الکتریکی را در خود ذخیره می کند و از آن در موقع لزوم می توان استفاده کرد. خازن شامل دو صفحه ی رساناست که بین آنها را ماده ای نارسانا )دی الکتریک( پر کرده است. در خازن با صفحات مسطح صفحه های رسانا تخت و با هم موازی هستند. وقتی در دو سر خازن اختالف پتانسیل برقرار کنیم روی صفحه ای که به پایانه ی مثبت متصل است بار مثبت و روی صفحه ای که به پایانه ی منفی متصل است بار منفی ذخیره می شود. بین این دو صفحه میدان الکتریکی یکنواخت ایجاد می شود. میدان الکتریکی بین دو صفحه ی خازن تخت یکنواخت است. خازن چگونه باردار می شود حال این پرسش پیش می آید که وقتی بین دو صفحه ی خازن ماده ی نارسانا وجود دارد چگونه روی صفحه های آن بار الکتریکی ذخیره می شود پاسخ این پرسش به مبحث القای الکتریکی برمی گردد. به این ترتیب که الکترون ها به صفحه ای که به پایانه ی منفی مولد وصل است می روند و : این بارهای منفی از طریق القای الکتریکی بارهای منفی )الکترون ها( را از صفحه ی مقابل می رانند و روی صفحه ی مقابل بار مساوی و غیر هم نام یعنی بار مثبت ذخیره می شود. با توجه به مطالب ذکر شده به این نتیجه می رسیم که بار خالص ذخیره شده روی خازن برابر صفر است و منظور از بار خازن تنها بار یک صفحه ی خازن است. 16 (a) No ielectric S s E s 0 s s (b) Dielectric just inserte (c) Inuce charges () Resultant fiel create electric fiel s s s + i s i s + i s i s i s i s i s i s s Original electric fiel Weaker fiel in ielectric ue to inuce (boun) charges
ظرفیت خازن طبق تعریف عبارت است از مقدار بار الکتریکی که به ازای یک ولت اختالف پتانسیل روی صفحه های خازن ذخیره می شود. ظرفیت خازن را با حرف نشان می دهیم و واحد آن فاراد )F( است. v q )98( یک فاراد برابر است با یک کولن بر ولت V 1F. 1c کولن و فاراد واحدهای بزرگی هستند این است که از واحدهایی مانند میکروکولن یا میکروفاراد یا نانو فاراد و... استفاده می شود. عوامل مؤثر بر ظرفیت خازن تخت: برخالف آنچه که ابتدا به نظر می رسد ظرفیت خازن تخت با بار الکتریکی و اختالف پتانسیل دو سر آن هیچ ارتباطی ندارد. بلکه ظرفیت خازن به شکل هندسی آن و جنس ماده ی دی الکتریک آن بستگی دارد. در کل هرچه مساحت صفحه های خازن بیشتر باشد ظرفیت خازن بیشتر می شود. از آنجا خازن به دلیل القای الکتریکی بار دار می شود هرچه فاصله ی صفحه ها بیشتر باشد میدان الکتریکی بین دو صفحه کمتر می شود و ظرفیت خازن کمتر می شود. از طرف دیگر جنس ماده ی دی الکتریک )ماده ی عایق( بین دو صفحه نیز بر ظرفیت خازن مؤثر است. k ثابت دی الکتریک A مساحت صفحه ها و فاصله ی جدایی صفحه ها است. در نتیجه: نکته ی 19: ثابت دی الکتریک هوا برابر است با 9. ثابت دی الکتریک تمام مواد نارسانا به غیر از هوا از 9 بیشتر است. k A { ka 9 kϵ οa مثال 6 دو ورقه ی رسانای مستطیل شکل به ابعاد 1 در 8 سانتی متر به دو طرف یک ورقه ی میکا به ضخامت 1/9 میلی متر چسبانده شده است و مجموعا خازن تختی را تشکیل داده است. ظرفیت این خازن را حساب کنید. ابتدا مساحت هر صفحه را حساب می کنیم. انرژی ذخیره شده در خازن: )91( A 1 8811cm 811 91-4 m kϵ οa 8 8/88 91-9 811 91-4 91-4 91-1 F همواره برای پر کردن خازن مقداری کار انجام می شود که این کار به صورت انرژی پتانسیل در میدان الکتریکی یکنواخت بین دو صفحه ی خازن ذخیره می شود. همانطور که در شکل مقابل مشاهده می شود نمودار اختالف پتانسیل بر حسب بار ذخیره شده در خازن به صورت خط راستی است که شیب آن عکس ظرفیت خازن است. اختالف پتانسیل دو سر خازن هنگام پر شدن خازن از صفر افزایش می باد تا بیشینه ی آن برابر اختالف پتانسیل دو سر مولد شود. مقدار متوسط آن از رابطه ی خازن q V) U ) از رابطه های زیر محاسبه می شود: V محاسبه می شود. پس انرژی u 9 V )1( u q )9( u qv )( 9 17
مثال 7 خازنی به ظرفیت 1 μf را با اختلاف پتانسیل 11 ولت پر می کنیم. مطلوب است محاسبه ي: الف( بار ذخیره شده در خازن. ب( انرژي ذخیره شده در خازن. الف( فیزیک 3-3 الکتریسیته مدرس:مسعود q V q 1 114111μc u 9 V 1 41111 ب( 411111μJ نمودارهای پر و خالی شدن خازن ها: در بخش باالیی شکل مقابل نمودار تخلیه ی خازنی را که به مقاومت R متصل شده است مشاهده می کنید و در بخش پایینی نمودار پر شدن همان خازن را مشاهده می کنید. خازن پر به خازنی گفته می شود که اختالف پتانسیل دو سر آن با اختالف پتانسیل دو سر مولد یکسان باشد. نکته ی : 1 خازن پر در یک مدار جریان مستقیم مانند مدار باز عمل کرده و جریان را از خود عبور نمی دهد. دی الکتریک چگونه باعث افزایش ظرفیت خازن می شود مرکز مؤثر بارهای مثبت و منفی دریک اتم در حالت عادی برهم منطبق است و اتم خنثی است )شکل زیر قسمت الف(. ولی وقتی یک ماده ی نارسانا بین دو صفحه ی خازن قرار بگیرد در اثر میدان الکتریکی مرکز مؤثر بارهای مثبت و منفی از هم جدا می شوند و اتم کشیدگی پیدا می کند و اصطالحا قطبیده می شود)شکل زیر قسمت ب(. شود. حال یک دی الکتریک را که بین دو صفحه ی خازن قرار گرفته است در نظر بگیرید)شکل مقابل(. اتم های این دی الکتریک در اثر میدان الکتریکی بین دو صفحه ) 0 E) قطبیده می شوند و یک طرف آن مثبت و طرف دیگر منفی می بار هاي مثبت و منفی القایی 18
فیزیک 3-3 الکتریسیته ساکن ساکن در دی الکتریک باعث یک ایجاد یک میدان الکتریکی داخلی در دی الکتریک می شود ) in E). همانطور که در شکل مشاهده می کنید این دو میدان الکتریکی خالف جهت یکدیگر هستند. اگر خازن از مولد جدا شده باشد این امر باعث می شود میدان برایند بین دو صفحه ی خازن کاهش یابد ) in E) E 0 E و در نتیجه اختالف پتانسیل بین دو صفحه کم می شود( E V ). در نتیجه با ثابت بودن بار صفحه ها و کاهش اختالف پتانسیل طبق رابطه ی q ظرفیت خازن افزایش می یابد. v حال این پرسش مطرح می شود که اگر ولتاژ دو سر خازن را افزایش دهیم چه اتفاقی می افتد. هر دی الکتریک دارای مشخصه ای به نام قدرت دی الکتریک است. قدرت دی الکتریک عبارت است از بیشترین میدان الکتریکی قابل تحمل توسط یک دی الکتریک. اگر میدان بین دو صفحه ی خازن از قدرت دی الکتریک بیشتر شود الکترون ها از اتم ها در دی الکتریک جدا می شوند و اتم یونیزه می شود. دی الکتریک موقتا به رسانا تبدیل شده و جریان الکتریکی را از خود عبور می دهد. به این پدیده فروریزش دی الکتریک گفته می شود. به اختالف پتانسیلی که باعث ایجاد پدیده ی فروریزش می شود پتانسیل فروریزش گفته می شود. در جدول روبرو مقدار ثابت دی الکتریک و قدرت دی الکتریک برای برخی از دی الکتریک ها داده شده است. مسا له ي (34): خازنی به مولد وصل و سپس از آن جدا می شود. چگالی بار روي صفحه هاي خازن ε o 9 10 1 c را بین صفحههاي خازن قرار میدهیم چه نیرویی به آن وارد میشود q q N.m E kε o A 1 q 1 4 8 N k 1 E 9 10 E 10 ε A 1 9 10 4 σ q o 9 10 A به هم بستن خازن ها c 10 9 4 و ديالکتریک آن m 8 F E. q 10 10 6 F 00N o o هوا است. بار µ c 19
خازن ها را می توان به دو شکل موازی و متوالی به هم وصل کرد. خازن های موازی : در این طریقه ی به هم بستن هر دو سر خازن ها به هم وصل می شود.)شکل مقابل( خازن های موازی دارای دو ضابطه ی زیر هستند : 9- اختالف پتانسیل دو سر تک تک خازن های موازی باهم برابر است و برابر است با اختالف پتانسیل دو سر کل مجموعه ی آنها. V V 9 V - بار الکتریکی ذخیره شده در مجموعه ی خازن ها ) e q) برابر است با مجموع بارذخیره شده در هر خازن. q e + q + اگر خازن معادل را خازنی در نظر بگیریم که معادل تمام خازن ها برای ما کار انجام دهد و ظرفیت آن را با e نشان دهیم خواهیم داشت: )8( )6( q e + q + e V 9 V 9 + V + e 9 + + )3( نکته ی : 1 ظرفیت معادل خازن های موازی از ظرفیت تک تک خازن ها بیشتر است نکته : در دو خازن موازی بار با ظرفیت نسبت مستقیم دارد. مثال 8 را مطابق شکل روبرو به یک مولد با نیروی محرکه ی 1 ولت وصل می کنیم. پس از پر شدن خازن ها 9 و دو خازن الف( بار روی هریک از خازن ها چند میکروکولن خواهد شد ب( انرژی ذخیره شده در مجموعه ی خازن ها چند ژول می شود پ( اگر مولد را برداریم و نقاط a و b را به هم وصل کنیم چه تغییری در میزان بار روی هر خازن ایجاد می شود 9 91μF, 41μF, V1v الف( وقتی خازن ها به طور موازی به یک مولد متصل شده اند می توانیم تک تک و مجزا بار هریک را بدست آوریم. 9 V 91 111μc, q V q 41 1361μc ب( برای بدست آوردن انرژی ذخیره شده در مجموعه ی خازن ها ابتدا ظرفیت خازن معادل را بدست می آوریم: پ( بدلیل برابری اختالف پتانسیل دو سر خازن ها بار روی آنها تغییری نمی کند. a 1 V b e 9 + 91+4181μF, u 9 V 81 89 18μJ 0
خازن های متوالی: این خازن ها به صورت پی درپی به هم وصل شده اند و تنها یک سر آنها به هم وصل است )شکل مقابل(. ضوابط خازن های متوالی عبارت است از: 9- اختالف پتانسیل دو سر کل مجموعه برابر است با مجموع اختالف پتانسیل های دو سر تک تک خازن ها. V V 9 + V + - بار الکتریکی ذخیره شده در کل مجموعه برابر است با بار الکتریکی تک تک خازن ها. q e + q + برای بدست آوردن ظرفیت خازن معادل در خازن های متوالی به ترتیب زیر عمل می کنیم: V q q e q + e 9 + 9 e 9 9 + 9 + )4( نکته ی : ظرفیت معادل خازن های متوالی از ظرفیت تک تک خازن ها کمتر است. نکته ی 3: ظرفیت معادل دو خازن متوالی از رابطه ی 39 محاسبه می شود. نکته : 4 در دو خازن متوالی اختالف پتانسیل با ظرفیت نسبت عکس دارد. e 9 9 + )8( )8( )1( نکته : 5 انرژی ذخیره شده در مجموعه ی خازن ها در دو حالت موازی و متوالی برابر است با مجموع انرژی های ذخیره شده در خازن ها. نکته ی 6: هرگاه دو یا چند خازن را بطور مجزا پر کنیم و سپس آنها را از مولد هایشان جدا کنیم و صفحه های آنها را بطور موازی به هم وصل کنیم اختالف پتانسیل دو سر مجموعه پس از اتصال به هم از رابطه های زیر حساب می شود. اگر صفحه های هم نام به هم وصل شوند: اگر صفحه های نا هم نام به هم وصل شده باشند: V 9 V 9 + + n V n 9 + + n V 1V 1 V 1 + مثال 9 9 و انرژی ذخیره در مدار شکل روبرو اگر بار ذخیره شده در مجموعه ی خازن ها 511μc باشد ظرفیت خازن 841μF, را حساب کنید. V91v شده در خازن در خازن های متوالی بار ذخیره شده در مجموعه ی خازن ها برابر است با بار تک تک خازن ها. در نتیجه: 1 V )5( )6( q e q 511μc q V 511 841 V V 8v از آنجا که ولتاژ در مدارهای متوالی بین عناصر مدار تقسیم می شود: ۲۲
V V 9 + V 91V 9 + 8 V 9 8v 9 V 511 9 8 9 841μF u 9 V 841 8 6581μJ مثال 31 در مدار شکل روبرو ظرفیت معادل خازن ها و بار هر خازن را قبل و بعد از بسته شدن کلید تعیین کنید. 9 3 61μF, V9v 3 با هم موازی و و ابتدا حالتی را بررسی می کنیم که کلید باز است. در این صورت خازن های 3 را با نشان دهیم خواهیم داشت: و 9 متوالی است. اگر مجموعه ی دو خازن مجموعه ی این دو خازن با خازن 1 k 9 و خازن به دلیل متوالی بودن با هم برابر است. در نتیجه ابتدا بار خازن e را حساب می کنیم. بار خازن e و خازن 3 V + 3 91μF e 9 9 + e 61 91 41μF 61+91 q q e e V q e 41 9481μc 3 بدلیل موازی بودن با هم جمع می شود و بار خازن را بوجود می آورد. از طرف دیگر این دو خازن با هم برابرند و موازی و بار خازن های پس بار آنها با هم برابر است. q q + q 41μc 3 بسته و حال می پردازیم به حالتی که کلید بسته است. وقتی کلید بسته می شود یک سیم بدون مقاومت بطور موازی به دو سر خازن های می شود. به این حالت اتصال کوتاه گفته می شود. هرگاه اتصال کوتاه در دو سر یک عنصر مدار بوجود آید آن عنصر از مدار خارج می شود. پس 9 در مدار باقی می ماند. 3 از مدار خارج می شوند و تنها خازن و در این حالت خازن های مثال 31 با توجه به شکل روبرو مطلوب است: الف( ولتاژ دو سر مدار. 9 و ب( بار ذخیره شده در خازن. 3 پ( انرژی ذخیره شده در خازن 9 3 1μF, 91μc e 9 61μF q e e V 61 951μc 1 V 3
3 با مولد موازی است می توانیم بنویسیم: الف( با توجه به اینکه خازن کنیم. پ( 3 V 911 V V 6v با هم متوالی اند. در نتیجه بار معادل این دو برابر است با بار تک تک آنها. پس ابتدا ظرفیت معادل این دو را حساب می 9 و ب( خازن های 9 Ć Ć 411 91μF 9 + 41 سپس بار معادل آنها را حساب می کنیم: q q ĆV 91 661μc u 3 9 3 V 3 1 36 361μJ مثال 3 یک خازن 4 میکروفارادی را با ولتاژ 1 ولت و یک خازن میکروفارادی را با ولتاژ 8 ولت پر می کنیم و از مولد جدا می کنیم. در دو حالت زیر مطلوب است اختالف پتانسیل دو سر آنها پس از اتصال به هم. الف( صفحه های هم نام آنها را به هم وصل کنیم. ب( صفحه های نا هم نام آنها را به هم وصل کنیم. ب( 9 V 9 n + + n V V V 4 1+ 8 11 98v 4+ 6 9 الف( + + n V 1V 1 V V 4 1 8 99/66v 1 + 4+ مثال 33 در مدار روبرو اگر انرژی ذخیره شده در خازن 1 ظرفیت خازن 3 چند میکروفاراد است 3 انرژی ذخیره شده در خازن 3 باشد از آنجا که ظرفیت خازن دو برابر خازن 9 است و این دو خازن موازی هستند پس انرژی خازن نیز دو برابر انرژی خازن 9 است. مجموع انرژی های خازن های 9 و دو برابر انرژی خازن 3 است. u 1 u 3 3, 1, V 1 V u 4 u 3 3 u u 3, از آنجا که خازن معادل 9 و با خازن 3 متوالی است بار های آنها با هم برابر است پس در آنها انرژی با ظرفیت نسبت عکس دارد: q, u 1 3 3 4 μf 3
A 1 { A مثال 34 در مدار روبرو اختالف پتانسیل دو سر خازن 9 چند برابر اختالف پتانسیل دو سر خازن 3 است از آنجا که دو خازن 9 و متوالی هستند اختالف پتانسیل دو سر آنها با ظرفیت آنها نسبت عکس دارد. k 1 k {{ 1 k 1 k 1 k 647 48 k 647 48 647 48 k 14444443 k { { 1 k 1 k V 1 + V V 3, V 1 V 1 5 V 1 V 3 V 1 4 V 3 4 4 5 پرسش:اگر فضاي بین دو صفحه را توسط دو دي الکتریک مطابق شکل پر کنیم ظرفیت خازن چقدر خواهد شد می توان این خازن را به صورت دو خازن متوالی با دي الکتریک هاي kو 1 k دانست: k ε ε 1 oa k, o A 1 1 1 1 1 1 + + k 1 + k 1 kk 1 T ε oa k εoa k εoa kk εoa k + k T 1 1 1 1 1 پرسش: اگر فضاي بین دو صفحه را توسط دو دي الکتریک مطابق شکل پر کنیم ظرفیت خازن چقدر خواهد شد می توان این خازن را به صورت دو خازن موازي با دي الکتریک هاي k 1 و k دانست: k1εoa 1 k ε A, o 1 k1εoa1 kεoa (ka 1 1 + ka) εo T 1+ + پرسش: بین صفحات دو خازن دي الکتریکی با ضریب k قرار دارد. خازن را به مولد وصل کرده و سپس از آن جدا می کنیم. سپس فاصلهي دو صفحه را از هم دو برابر میکنیم. ولتاژ خازن چند برابر میشود k از آن جا که خازن از مولد جدا شده بار آن ثابت بوده و ولتاژ به نسبت عکس ظرفیت تغییر می کند. 647 48 647 48 A 1 µ F 5 3 3µ F 4 µ F 3 4µ F B V 1 V1 پس به محاسبهي میپردازیم. o A 1 ε 1 1 1 3 + εoa εoa εo ε o A 1 ε o A 1 V 1 3 3 3 3 V1 1 3 نقاط تقاطع مدار را نام گذاري می کنیم. دو نقطه ي و B با یک سیم رسانا به هم متصل هستند پس این دو نقطه هم پتانسیل هستند. مدار را مجددا رسم می کنیم. نقطه ي ابتدا A و انتها B و می باشند و D بین این دو قرار می گیرد., 4 3 3 + 4 4+ 6µ F A 1 1,, 1 + 1 1 + 1 1 345 5 3 6 345,, 5 3, 4 4 T 1 + + 3,, 45 + 3+ 7µ F D 3 B A 5 4 B, D 1 3 4